[수학 공부 비법] 수학I 수열 빈출 개념 / 기출 분석

1. 수열 단원에 대한 이해

  수열은 자연수 집합에서 실수 집합으로 가는 배열이 있는 함수를 이야기합니다. 수열은 세 개의 중단원인 등차수열과 등비수열, 수열의 합, 수학적 귀납법으로 구성되어 있고, 세 단원 모두 학습해두어야 하는 빈출 유형이 있습니다. 이것은 뒤에서 다루도록 하겠습니다. 수열 단원에는 수학I의 다른 단원에 비해 공식이 많이 등장합니다.

 

  수학에서 공식이 나오는 경우는 다음 두 가지 학습이 진행되어야 합니다.

  1. 공식을 암기하고 적용하기

  2. 공식을 대수적 해석하여 식의 특성을 이끌어내고 적용하기

 

  예를 들어, 등차수열의 일반합 공식은 일반합 기본 문제를 풀기 위해 외우고 쓸 줄 알아야 하는 공식입니다. 더 나아가 등차수열이 일반합 공식이 n제곱의 계수가 공차의 절반인 n에 대한 이차함수라는 것을 이해하고 문제를 이차함수 측면에서 사고할 수 있어야 합니다.

 

  수열의 귀납적 정의는 교육과정을 잘 살펴보면 해법이 있습니다. 수열의 귀납적 정의와 관련하여 수학과 교육과정에서는 다음과 같이 명시해두었습니다.

"수열과 관련된 여러 가지 문제를 귀납적으로 표현할 수 있게 하고, 귀납적으로 정의된 수열의 일반항을 구하는 문제는 다루지 않는다." 

예전 교육과정에는 귀납적으로 정의된 수열의 일반항을 구하는 문제는 다루지 않는다는 멘트가 없었습니다. 사실 수열의 귀납적 정의는 예전 교육과정에서는 점화식이라는 용어로 학습했던 개념입니다. 교과서에서도 점화식이라는 용어를 가르치고 점화식으로 주어진 수열의 일반항을 구하는 문제를 다뤘습니다. 그러다 보니 수능에서도 2015번째 항을 구하라고 하는 등 일반항을 구해야 접근 할 수 있는 문제를 출제하곤 했습니다. 하지만 현 교육과정에서는 이런 부분이 불가합니다. 일반항을 구하는 것을 다루지 말라고 했기 때문에 20번째 항을 구하거나 12번째 항을 구하거나 하는 등 일반항을 구하지 않고도 직접 계산하여 구할 수 있는 수준의 항을 다루도록 문제를 출제합니다.

  교육과정의 이 내용을 잘 이해했다고 하면, 수열의 귀납적 정의는 풀이 방법이 정해져 있습니다. 바로, "노가다"입니다. 교육과정 내에서 귀납적 정의는 노가다를 통해 규칙을 발견하도록 가르치라고 유도하고 있습니다. 다만 그냥 노가다가 아니라 "잘 노가다"하는 문제가 남았습니다. 수험생은 문제 해결 과정에서 어떻게 하면 조금 더 쉽게 노가다 하여 내가 원하는 항에 도달할 수 있을까를 고민해야 합니다. 수열의 귀납적 정의는 반드시 노가다 하여 해결한다는 마음가짐을 갖는 것만으로도 문제 풀이 방법에 비교적 쉽게 접근이 가능합니다.

2. 기출 문항 분석

  이제 수능 기출 문항을 분석해보겠습니다. 수열 단원에서 자주 출제되는 문항(적어도 2년에 한 번 정도는 출제되는 문항)은 세 가지 정도가 있습니다.

 

  첫 번째, 등차수열 또는 등비수열의 몇 개의 항에 대한 정보를 주고, 어떤 항의 값을 구하도록 하는 기본문제입니다.

2023학년도 대학수학능력시험 수학영역 3번 문항

   작년 수능 수학영역 3번 과 같은 문제로 이 유형의 경우 2년에 한 번이 아닌 매년 출제되는 문항으로 봐도 됩니다. 기본 문제답게 문제 해결이 그리 어렵지 않습니다. 하지만 우리가 항상 명심해야 하는 것.

  "수학 문제는 그 문제를 해결했느냐 못했느냐가 문제가 아니라 얼마만큼의 시간을 투자하여 해결했는지가 중요하다."

이렇게 매년 등장하는 기본 문제를 공식이 헷갈린다 거나 생각을 많이 하면서 푸는 것은 가장 기본적인 공부가 되지 않은 것입니다. 보자마자 빠르게 해결할 수 있도록 숙달해야겠습니다.

 

  두 번째, 시그마의 성질을 활용한 문제입니다.

 

2023학년도 대학수학능력시험 수학영역 7번 문항

 

  시그마의 성질을 활용하여 해결하는 문제는 2~3년에 한 번 정도씩 출제되는 빈출 유형이나 개념 정리를 확실히 해두어야 합니다.

 

  세 번째, 수열의 귀납적 정의를 활용한 문제입니다.

2023학년도 대학수학능력시험 수학영역 15번 문항

  앞서 밝힌 바와 같이 수열의 귀납적 정의는 교육과정 내에서 "잘 노가다"하여 원하는 항의 값을 얻도록 유도하고 있습니다. 교육과정을 준수하는 교육과정 평가원에서는 이런 점을 적극 반영하여 위 15번과 같은 문제를 2년에 한 번은 출제하고 있습니다. 수열의 귀납적 정의 문제는 예전부터 객관식 마지막 킬러문항(현재는 그 정도 난이도는 아니지만)으로 자주 등장하는 유형입니다.

  작년 기출 문제를 보아도 역시나 9번째 항 정도를 물어보고 있습니다. 따라서 잘 노가다해서 9번째 항에 도달하면 문제가 해결됩니다. 평소에 수열의 귀납적 정의 문제를 해결할 때도 이런 부분에 중점을 두고 문제를 해결하는 습관을 들이면 수능에서도 충분히 맞출 수 있는 유형입니다.

 

  정리해보면, 

1. 등차수열과 등비수열은 몇 개의 항의 정보를 통해 새로운 항을 구하는 기본 문제가 출제되니 등차중항, 등비중항, 일반항 공식 등을 잘 숙지하고 적용하는 연습이 필요합니다.

2. 시그마의 성질을 활용하여 어떤 값을 계산하는 문제가 2~3년에 한 번씩 출제되니 정리해두어야 합니다.

3. 수열의 귀납적 정의는 평소에 "잘 노가다"하는 습관을 들이고 이런 과정에서 얻은  "잘 노가다"하는 스킬들을 따로 정리하여 숙지하면, 이 유형은 독파가 가능합니다.

 

  오늘도 이렇게 정리해보니 수열 단원에서 딱히 틀릴만 한 문제가 없는 것 같습니다. 현 수능 체제에서는 수학 영역에서 수학I과 수학II의 영향력이 압도적으로 큽니다. 수학I, 수학II 기본서 공부를 소홀히 하지 않으면서 수능 빈출 유형을 잘 정리해두면, 분명히 고득점을 위한 발판이 됩니다.