[수학 공부]2024학년도 6월모의고사 수학영역 미적분 30번 문항 풀이

 

2023.6.1에 실시된 6월모의고사의 미적분 30번 문항을 풀이해보겠습니다. 이 문항은 실제 수능에서는 30번으로 출제되기 어렵습니다. 보통 30번 문제는 미분과 적분을 활용하여 그래프의 특징을 살피는 문제가 출제됩니다. 6월모의고사는 출제범위가 한정되어 있다보니 수열의 극한 파트에서 킬러문항이 출제되었습니다.

바로 풀이 시작하겠습니다. 몇가지 조건을 살펴볼게요.
첫 번째 조건 해석,
 
 
두 번째 조건 해석,

일단 b_2n의 급수가 수렴한다고 해요. b_2n은 구성방식에 의해 항의 값으로 -1또는 a_2n을 갖습니다. b_2n이 수렴하기 위해서는 b_2n은 유한개의 -1과 나머지 a_2n으로 구성되어야 합니다. 따라서 b_2n의 급수의 수렴성은 a_2n의 급수의 수렴성에 의해 결정되며, a_n의 공비는 -1과 1사이의 값이어야 합니다.(0 제외) 만약 r이 양수라면, a_n의 모든 항은 부호가 같고 a_3가 음수이기 때문에 모든 항의 부호는 음수가 됩니다. 따라서 b_2n의 모든 항도 음수입니다. 급수가 양수인 8이 나올 수 없죠. 따라서 r은 음수입니다. 즉, -1<r<0 이 됩니다. r이 음수이기 때문에 a_n은 양수와 음수가 번갈아 배열되는 수열이고 첫번째 조건에 의해 a_3가 음수이기 때문에 a_n의 홀수항은 음수, 짝수항은 양수가 됩니다.
 
따라서, 수열 {b_n}은 다음과 같이 구성됩니다.

a_n의 홀수항은 음수이면서 증가하므로, a_1은 a_3보다 작습니다. 따라서 a_1은 -1보다 작고 b1은 -1이 됩니다. a_n의 짝수항은 모두 양수이므로 -1보다 크고 b_n의 짝수항은 모두 a_n의 짝수항과 같습니다. a_n의 홀수항은 0에 한 없이 가까워지며 증가하므로, a_n의 홀수항은 언젠가는 -1보다 커지고 그때부터 b_n의 홀수항은 a_n의 홀수항과 같아집니다. 즉, b_n은 홀수항에서 유한개의 -1을 갖고 나머지는 모두 a_n과 일치합니다. 이 사실들을 이용하면 다음과 같은 결론에 도달하게 됩니다.

a_2n은 첫째항이 a2, 공비가 r의 제곱인 등비수열이므로 무한등비급수 합공식에 의해 식(1)이 성립합니다. 위와 같이 k를 설정하면, a_2k-1은 -1보다 크고 a_2k-3은 -1보다 작거나 같습니다. 즉, b_2k-3=-1, b_2k-1=a_2k-1이 됩니다. 따라서 b_n의 홀수항은 b_2k-3까지는 모두 -1(k-1개의 -1)이고, 그 이후로는 a_n의 홀수항과 같습니다. 따라서 b_2n-1의 급수는 k-1개의 -1과 첫째항이 a_2k-1이고 공비가 r제곱인 무한등비급수의 합으로 이루어져 있으며, 식(2)가 성립하게 돼죠. 식(1)과 식(2)를 연립하여 식(3)을 얻을 수 있습니다.
 
b_n의 홀수항은 b1=b3=-1이므로 k는 2보다 크거나 같습니다. 그리고 k가 4이상일 때는 식(3)의 좌변이 -3보다 작아지므로 식(3)이 성립하지 않습니다. 따라서 k는 2 또는 3인 것을 알 수 있죠.
 
k=2인 경우, 이를 식(3)에 대입하면 r을 얻을 수 있습니다. 이를 식(1)에 대입하면, a를 구할 수 있는데 a가 양수가 되어 모순입니다.
 
k-3d인 경우, 이를 식(3)에 대입하면 마찬가지로 r을 얻을 수 있고 이를 식 1에 대입하여 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

마지막입니다. 방금 얻은 결론으로부터 |a_n|은 첫째항이 12, 공비가 1/2인 등비수열이고 이 수열의 급수값을 구하는 문제이므로, 무한등비급수 공식에 의해 

를 얻게 됩니다. 따라서 답은 24입니다. 30번 문항답게 풀이가 간단하지는 않고 고려해야할 것들이 많은 문제입니다. 아마도 이 문제가 수능에 그대로 출제되는 일은 없겠죠? 따라서 풀이보다 더 중요한 것, 이 문제에서 알아두어야 하는 것이 있습니다. 그 부분 정리하면서 마무리할게요.
 
이 문제에서 얻어가야 하는 것
1. 이 문제는 수열의 극한 파트로 미적분 전범위 출제되는 9월, 수능에서는 출제되지 않는다.
2. 하지만, 이 문제는 공통문항의 객관식 15번 자리에 점화식 문제로 아이디어가 활용될 수 있다. 따라서 b_n의 구성 아이디어를 정리해둘 필요가 있다.
 
이상으로 해설을 마칠게요^^